重要概念

函数

奇偶性

• 奇 + 奇 = 奇

• 偶 + 偶 = 偶

• 奇 + 偶 = 奇/偶/非奇非偶

• 奇 * 奇 = 偶

• 偶 * 偶 = 偶

• 奇 * 偶 = 奇

连续性

函数在点 $x_{0}$ 处连续条件（需同时满足以下三个条件）：

• 函数 f(x) 在点 $x_{0}$ 处 有定义
• 极限存在，也即 $\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x)$ 存在（左右极限存在且相等）
• 极限值与函数值相等，即 $\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0})$

间断点

$x_{0}$ 为函数间断点条件（需以下条件至少一个不满足）：

• 函数 f(x) 在点 $x_{0}$ 处 有定义
• 极限存在，也即 $\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x)$ 存在（左右极限存在且相等）
• 极限值与函数值相等，即 $\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0})$

间断点分类

• 第一类间断点：左右极限都存在
  • 可去间断点：极限存在（$\lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = \lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)$）
  • 跳跃间断点：极限不存在（$\lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x) ≠ \lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)$）
• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
  • 无穷间断点：左右极限至少有一个是 $\infty$
  • 振荡间断点：极限在两值之间摆动（多为 sinx、cosx）

极限

数列极限

收敛数列与其子数列的关系：

$\lim \limits_{n \to \infty}x_{n} = a \Leftrightarrow \lim \limits_{n \to \infty}x_{2n - 1} = \lim \limits_{n \to \infty}x_{2n} = a$

函数极限

常用结论：

• $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = A，\lim g(x) = 0 \Rightarrow \lim f(x) = 0$

• $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = A ≠ 0，\lim f(x) = 0 \Rightarrow \lim g(x) = 0$

极限值与无穷小的关系

$\begin{rcases} \lim f(x) = A \\ \lim α(x) = 0 \end{rcases} \Rightarrow f(x) = A + α(x)$

微分

函数在点 $x_{0}$ 处可微的充要条件：函数在点 $x_{0}$ 处可导，且 $dy = f'(x_{0})dx$。

积分

反常积分

无穷区间上的反常积分

$$（P 积分） \int_{a}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{p}} \space dx \space (a ≥ 1) \quad \begin{cases} p > 1 \Rightarrow 收敛 \\ p ≤ 1 \Rightarrow 发散 \end{cases}$$

$$（广义 P 积分） \int_{a}^{+\infty} \dfrac{1}{x(lnx)^{p}} \space dx \space (a ≥ 1) \quad \begin{cases} p > 1 \Rightarrow 收敛 \\ p ≤ 1 \Rightarrow 发散 \end{cases}$$

无界函数上的反常积分

$$（P 积分） \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^{p}} \space dx \quad \begin{cases} p < 1 \Rightarrow 收敛 \\ p ≥ 1 \Rightarrow 发散 \end{cases}$$